力矩载荷下轮毂轴承的动力学分析

力矩载荷下轮毂轴承的动力学分析

即使自动驾驶技术不断发展和计算机控制转向，车辆操纵稳定性仍很重要。这是因为即使使用最先进的计算机系统，如果车辆对转向信号的响应太慢，那么车辆将难以沿着所期望的路径行驶。另一方面，支承车辆轮胎的轮毂轴承刚度是影响车辆操纵稳定性的因素之一。因此，合理设计轮毂轴承刚度是重要课题。

轮毂轴承刚度测量通常在不旋转轴的情况下进行。虽然预计旋转轴刚度与静态刚度没有区别，但尚未得到证实。为了确定这点是否正确，采用集成动力学分析系统IBDAS对轮毂轴承的轴转速与刚度的关系进行了动力学分析，该系统由NTN为分析滚动轴承而开发。本文报告了由动力学分析得到的结果。

1 产品分析

轮毂轴承由两列球和保持架组成，如图1所示。内侧内圈集成在轮毂圈上，并对球施加一定的轴向预载荷。因此，分析了带有双列角接触球轴承(表1)的旋转系统。

图1 轮毂轴承示意图

表1 轴承技术参数

轴承工况见表2，载荷作用点和分析坐标系如图2所示。该条件假设车辆轮毂轴承以恒速运行，其中力矩、轴向载荷和径向载荷呈周期性变化。

表2 工况

图2 载荷作用点和分析坐标系

2 分析方法

采用NTN自主开发的滚动轴承分析用集成动力学分析系统IBDAS计算了在力矩载荷作用下运行轮毂轴承倾斜角的时域波形。

分析模型的运动自由度和约束条件见表3。轴承外圈固定，内圈具有除旋转外的运动自由度。给出了内圈的重量和轮毂圈的惯性力矩。球和保持架有3个平移和3个旋转自由度。IBDAS采用模态综合法可考虑保持架的弹性变形。分析得出每个保持架共有56种变形模态。

表3 分析模型的运动自由度和约束条件

为了对具有上述自由度的球轴承系统的运动进行动力学分析，必须精确计算球与沟道和球与保持架接触处的法向力和切向力。以下是各自的计算方法。此外，还根据需要计算了球在各种力作用下的力矩。

2.1 球与沟道的接触点

假设接触应力服从Hertz理论，则可得到法向力。在计算切向力时，考虑了接触椭圆长轴上的接触应力分布和滑动速度，如图3所示，以获得三维球运动的适当表达式。

图3 球与外圈接触区域的计算模型(FNoj为外圈作用在第j个截面上的法向力，uslideoj为球第j个截面相对于外圈的滑动速度)

在Hertz应力下沿接触椭圆长轴的第n个切片的法向载荷可通过沿短轴方向的接触应力积分得到，然后在特定切片范围内沿长轴积分得到，其表达式为

(1)

式中：FNj为作用在第j个截面上的法向力；FN为作用在整个接触区域的法向力；j为截面编号(0～n-1)。

对于切向力，考虑了油润滑条件下在接触区域内假定的3种力：拖动力(在滚动/滑动接触的2个物体上，其是作用于高速侧滚动方向相反方向和低速侧滚动方向相同方向的切向力)、滚动黏滞阻力(在油润滑下由油膜剪切力所产生的力，其作用于阻止滚动接触的2个物体滚动的方向上)、油膜作用力(由于在油润滑下滚动接触的2个物体上的油膜压力而作用在滚动方向上的力，其由油膜压力中心向上游侧移动而产生)。

由于轮毂轴承采用脂润滑，假设上述3种力仅由润滑脂的基础油确定。以下是每种力的计算概述。

作用在每个截面上的力用以下方程计算，假设作用方向与球表面相对于沟道的滑动速度矢量

相反。

(2)

式中：

为作用在球上的力；φj为摩擦因数；下标j为第j个截面。上面的箭头表示矢量。流体润滑条件下的φj通过考虑润滑油特性的计算方法得到；边界润滑条件下的φj通过一个仅有滑滚比(接触面的滑动速度除以接触面的平均速度)的函数得到；混合润滑条件下的φj通过摩擦因数与油膜参数成比例的插值得到。即使在流体润滑条件下，摩擦因数也在很大程度上取决于滑滚比，计算示例如图4所示。

图4 拖动系数示例

球表面相对于沟道的滑动速度矢量

为

(3)

式中：

为球心的平移速度矢量；

为球的角速度矢量;

为球心到第j个截面的位置向量；

为沟道中心的平移速度矢量；

为沟道的角速度矢量；

为沟道中心到第j个截面的位置矢量。基于Jones理论，得到了接触椭圆内截面位置的方法。

球表面截面的滑动速度矢量

除了滚动方向外，还有一个轴向分量，如图5所示。因此，有一个力作用在接触椭圆长轴方向上。

图5 球表面滑动速度矢量示例

滚动黏滞阻力的作用方向与球和沟道的滚动方向相反。由于这是来自润滑膜的力，因此假设仅在形成润滑膜的流体润滑条件下发生。利用文献[10-11]中高压黏弹性体范围(PE)和高压黏刚性体范围(PR)情况下的方程，得到了滚动黏滞阻力FR的大小。根据范围测定的结果，也可选择性地使用等压黏刚性体范围(IR)的情况。

FRj=

(4)

式中：Ct为热修正系数；

为有效半径；G为材料参数；Uj为速度参数；Wj为载荷参数；w为截面宽度；

为等效弹性模量；下标Pmax为接触应力最大的截面。

在滚动方向的油膜力FP使用以下方程由滚动黏滞阻力得出。

(5)

式中：Rbj为球的旋转轴线到接触区域第j个截面的半径。

由于考虑到接触椭圆中的力分布及其3D效果，IBDAS中球的自转和公转速度的计算结果与由Jones理论得到的计算结果相吻合。

2.2 球与保持架的接触点

假设与过盈量δC相对应的法向力FNC根据Hertz理论产生，这意味着保持架表面被划分为有限元，且这些节点与球发生几何干涉。

(6)

式中：kHertzC为Hertz接触理论中的非线性弹性系数。

在计算切向力时仅考虑了滑动摩擦产生的力，因为滑动是球与保持架之间的唯一作用力。滑动摩擦力为

(7)

式中：μS为摩擦因数，本文计算中μS取

为球表面相对于保持架兜孔的滑动速度矢量。

3 计算结果

各车速下施加力矩时内圈倾斜角的计算结果如图6所示。载荷变化频率为50 Hz。结果表明，在力矩作用下内圈倾斜角的波形滞后，其还揭示了各车速的直线斜率(柔度)尽管滞后，但都相同。由这些结果可知，无论车速如何，轮毂轴承刚度(柔度的倒数)也相同。

图6 各车速下施加力矩时内圈倾斜角的计算结果

当车速为10 km/h且载荷变化频率分别为3种水平时，施加力矩时内圈倾斜角的计算结果如图7所示。施加力矩时内圈倾斜角的直线斜率保持不变，这表明轮毂轴承刚度不取决于载荷变化频率。

图7 各种载荷变化频率下内圈倾斜角的计算结果

另一方面，在图7的直线中也观察到滞后。施加力矩时内圈倾斜角的滞后意味着车身的侧向位移增加稍滞后于从地面输入的轮胎侧向力。如果考虑到车身在转向时的侧向位移，则意味着横向位移的峰值出现得较晚，这降低了车辆操纵稳定性。

因此，通过分析在力矩为0.3 kN·m时的倾斜角之差来确定驱动条件对滞后的影响。其被定义为波动范围WH，如图8所示。

图8 波动范围WH的定义，表示为内圈倾斜角相对于力矩的滞后(第4章中使用了点PF和PR)

当车速和载荷变化频率均变化时，内圈倾斜角的波动范围如图9所示。随着车速的降低和载荷变化频率的增加，波动范围增大。

图9 当车速和载荷变化频率均变化时，内圈倾斜角相对于力矩的波动范围WH的计算结果(圆点直径与波动范围WH成正比，圆点旁的数字为波动范围(°/103))

4 测试

下面讨论WH对施加力矩时内圈倾斜角波形的影响机理。

波动范围的原因如图10所示。在球与沟道之间产生的沿接触椭圆长轴方向的力阻碍了球在径向平面内的运动。下面将描述作用在图10右上方球上的力的机理。

图10 当内圈逆时针倾斜时，沟道作用在球上的法向力和拖动力的总体概念

作用在图10右上方球上的力的典型状态如图11所示。首先，在内圈倾斜角保持恒定的同时内圈继续旋转的状态如图11a所示。在这种情况下，由于内圈以相同的内圈倾斜角旋转，所以球的中心位于内外圈沟曲率中心的连线上。内外圈作用在球上的法向力FNi和FNo在同一轴线上对齐并保持平衡(此处为便于说明，忽略了离心力)。内外圈沟道作用在球上的力仅作用于滚动的方向，图中没有表面分量。

内圈倾斜角在逆时针方向上增大后，球转变不够充分时的状态如图11b所示。在这种情况下，内圈作用在球上的法向力FNi改变其方向，如图所示(在此为便于说明，忽略了内圈作用在球上的力FTi)。沟道作用在球上的合力将向左上方移动，如图所示。

此后，球在径向平面中移动，作用在球上的力和力矩平衡，如图11c所示。随着球的运动，FNi和FNo的大小和方向发生变化，内外圈作用在球上的力FTi和FTo开始向右上方移动。由于这些力，球心无法移动到内外圈沟曲率中心的连线上，如图11a所示。

图11 当内圈逆时针倾斜时，沟道作用在球上的法向力和拖动力

接下来，考虑内圈倾斜角与图11c相同，但力矩减小且内圈倾斜角沿顺时针方向变化的情况。将PR的情况视为图8中的点PF。作用在点PR上的力在图12中描述。由于内外圈作用在球上的力作用在左下方，球仍保持从内外圈沟曲率中心的连线向左下方移动。FNi的角度也变小。因此，球在内圈上引起的力矩小于图11c(图8中的点PR处的力矩)，图8中的点PR处的力矩小于点PF。

图12 当内圈顺时针倾斜时，沟道作用在球上的法向力和拖动力

如上所述，由于作用在接触椭圆长轴方向上的力，使内圈倾斜角变化时球的中心位置无法到达内圈倾斜角恒定的球的位置，这种力产生了内圈倾斜角的波动范围。

WH与作用在球上的接触椭圆长轴方向上的力的大小有关。这种力的大小在很大程度上取决于滑滚比，如图4所示。球表面的滑滚比sj是球表面上的滑动速度

与接触区域的滚动速度

之比，即

(8)

为了简化，考虑了在球与沟道之间的接触区域中的纯滚动位置(在滚动方向上没有滑动)处的滑滚比。在这种情况下，滑动速度和滚动速度分别与载荷变化频率fload和车速uv成正比。滑滚比可表示为

(9)

因此，可得出结论：滑滚比sj、摩擦因数φj、力和波动范围WH的增加导致fload增加且uv降低，这与图9中的趋势相对应。

以上是对滚动接触区域内纯滚动位置的讨论。在滚动方向上存在滑动速度的位置，(8)式的分子包括滚动方向上的滑动速度分量，这略微减小了fload对sj的影响。然而，由于长轴方向上的滑动速度分量增加，长轴上的力仍增大。

5 结束语

采用动力学分析系统IBDAS对内圈旋转的轮毂轴承进行了刚度分析。结果表明，轮毂轴承刚度不取决于内圈转速和力矩的变化频率。验证了内圈倾斜角随力矩变化的波形滞后，滞后的原因是在球与沟道之间形成的接触椭圆长轴方向上的拖动力。增加载荷变化频率和降低车速(降低轴转速)会增加接触椭圆长轴方向上的拖动力，最终增加滞后范围。

上述滞后可解释为内圈倾斜角对力矩变化的响应延迟。为了提高车辆操纵稳定性，需减小这种延迟。将继续使用CAE技术进行进一步分析，以开发滞后减小的轮毂轴承。